Fiche de Révision – Probabilités Conditionnelles

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Vocabulaire des Probabilités

Rappels fondamentaux · Univers, Événements, Opérations

🌐 Univers Ω

L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Exemple — lancer un dé cubique : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc Card(Ω) = 6

Événement A

Une partie de l'univers Ω. Exemple : A = « obtenir un nombre pair » → A = {2 ; 4 ; 6}

Cardinal Card(A)

= effectif = nombre d'éléments (= nombre d'issues) de l'événement A.

Intersection A ∩ B

Événements A et B réalisés en même temps. A ∩ B = issues communes à A et B.

Réunion A ∪ B

Événement A ou B réalisé (au moins l'un des deux). A ∪ B = toutes les issues de A ou de B.

Contraire B̄

Événement qui se réalise quand B ne se réalise pas. p(B) + p(B̄) = 1

Événement impossible

Ensemble vide ∅. Exemple : C = « obtenir un 7 » avec un dé → p(C) = p(∅) = 0

Événement certain

D = Ω, se réalise toujours. Exemple : D = « obtenir un nombre < 10 » → p(D) = 1

Probabilité p(A)

p(A) = Card(A) / Card(Ω) quand toutes les issues sont équiprobables.

🎲 Exemple complet — Dé cubique

Ω = {1;2;3;4;5;6} · A = nombre pair = {2;4;6} · B = nombre ≥ 3 = {3;4;5;6}

Événement	Ensemble	Cardinal	Probabilité
Ω	{1;2;3;4;5;6}	6	—
A (pair)	{2;4;6}	3	3/6 = 1/2
B (≥ 3)	{3;4;5;6}	4	4/6 = 2/3
A ∩ B	{4;6}	2	2/6 = 1/3
A ∪ B	{2;3;4;5;6}	5	5/6
B̄ (contraire)	{1;2}	2	2/6 = 1/3

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

Propriété fondamentale — Pour ne pas compter A ∩ B deux fois

🔵 Diagramme de Venn — Visualisation

La zone jaune = A ∩ B · La zone bleue seule = A sans B · La zone violette seule = B sans A

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Probabilités Conditionnelles

Probabilité d'un événement sachant qu'un autre est réalisé

🏥 Activité d'introduction — Hôpital

Dans un hôpital, des patients atteints d'une même maladie sont traités avec le médicament α ou le médicament β. Tableau des résultats sur 5 ans :

	Médicament α	Médicament β	Total
Guéri	241	186	427
Non guéri	108	65	173
Total	349	251	600

α : « le patient a pris le médicament α » · G : « le patient est guéri »

🎯 1ère expérience — On tire une fiche au hasard (600 fiches)

p(α) = 349/600 ≈ 0,58 — probabilité d'avoir pris α
p(G) = 427/600 ≈ 0,71 — probabilité d'être guéri
p(α ∩ G) = 241/600 ≈ 0,40 — guéri ET a pris α
p(α ∩ Ḡ) = 108/600 ≈ 0,18 — non guéri ET a pris α

🎯 2ème expérience — On tire la fiche d'un patient GUÉRI

On restreint l'univers aux 427 patients guéris uniquement.

p_G(α) = 241/427 ≈ 0,56

Probabilité d'avoir pris α, sachant que le patient est guéri → On lit seulement la ligne des guéris

p_β(G) = 186/251 ≈ 0,74

Probabilité d'être guéri, sachant que le patient a pris β → On lit seulement la colonne de β

📌

Définition — Probabilité Conditionnelle

La probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé, notée p_A(B), est définie par :

p_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A)

Se lit « p de B sachant A » · L'ensemble de référence n'est plus Ω mais A

💡

Remarque : Avec les probabilités conditionnelles, l'ensemble de référence n'est plus Ω, mais A. On « restreint » l'univers à l'événement A.

🎲 Exemple — Dé cubique avec probabilité conditionnelle

A = « nombre pair » = {2;4;6} · B = « nombre ≥ 3 »

Sachant que le dé est pair, quelle est la probabilité qu'il soit ≥ 3 ?

p_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A) = 2/3

A ∩ B = {4;6} (pairs ET ≥ 3) → Card = 2 · Card(A) = 3 · Parmi les 3 dés pairs (2,4,6), 2 sont ≥ 3 (4 et 6)

🌐 Probabilité classique p(B)

Référence : tout l'univers Ω
Card(Ω) au dénominateur
p(B) = Card(B) / Card(Ω)
Exemple : p(B) = 4/6 = 2/3

VS

🔗 Prob. conditionnelle p_A(B)

Référence : événement A uniquement
Card(A) au dénominateur
p_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A)
Exemple : p_A(B) = 2/3

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Formules Clés

Toutes les formules à retenir pour l'examen

5

Formules essentielles

3

Propriétés importantes

2

Notations à maîtriser

⭐ Formule principale — Probabilité conditionnelle

p_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A)

Probabilité de B sachant A · Valable quand les issues sont équiprobables

p_A(B) = p(A ∩ B) / p(A)

Formule générale avec les probabilités (pas seulement les cardinaux)

🔵 Formule de la réunion

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

Évite de compter A ∩ B deux fois · Valable pour tous les événements

Cas particulier — si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅) :

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

🔴 Formule du contraire

p(B) + p(B̄) = 1

Toujours vrai · Très utile pour calculer p(B̄) = 1 − p(B)

🟢 Probabilité classique (équiprobabilité)

p(A) = Card(A) / Card(Ω)

Valable uniquement si toutes les issues sont équiprobables

🟠 Formule des probabilités totales (à retenir)

p(B) = p(A ∩ B) + p(Ā ∩ B)

Si A et Ā forment une partition de Ω · p(B) = p_A(B)·p(A) + p_Ā(B)·p(Ā)

📋 Récapitulatif des notations

Notation	Se lit	Signification
p(A)	probabilité de A	Probabilité que A se réalise
p_A(B)	p de B sachant A	Probabilité de B si on sait que A est réalisé
A ∩ B	A inter B	A ET B simultanément
A ∪ B	A union B	A OU B (au moins l'un)
B̄ ou B̄	B barre / contraire de B	B ne se réalise pas
∅	ensemble vide	Événement impossible, p(∅) = 0

⚠️

Attention ! p_A(B) ≠ p_B(A) en général. L'ordre compte ! « p de B sachant A » est différent de « p de A sachant B ».

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Tests Diagnostiques

Application aux tests médicaux · Faux positifs, Sensibilité, Spécificité

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Contexte : Un test médical peut détecter ou non une maladie M. Il peut donner un résultat positif (T) ou négatif (T̄). Il peut se tromper.

M

Patient malade (M se réalise)

M̄

Patient non malade (M ne se réalise pas)

T

Test positif

T̄

Test négatif

⚠️ Les deux types d'erreurs d'un test

Faux positif Test positif (T) alors que le patient n'est PAS malade (M̄). Le test dit « malade » à tort.

Faux négatif Test négatif (T̄) alors que le patient EST malade (M). Le test dit « sain » à tort — plus dangereux !

Vrai positif Test positif (T) ET patient malade (M). Détection correcte.

Vrai négatif Test négatif (T̄) ET patient non malade (M̄). Exclusion correcte.

📊 Les 3 indicateurs clés d'un test

Sensibilité = p_M(T)

Probabilité que le test soit positif sachant que le patient est malade. Une bonne sensibilité = peu de faux négatifs.

Spécificité = p_M̄(T̄)

Probabilité que le test soit négatif sachant que le patient est non malade. Une bonne spécificité = peu de faux positifs.

Efficacité = p(M ∩ T) + p(M̄ ∩ T̄)

Probabilité que le test donne le bon résultat (vrai positif OU vrai négatif).

🧠 Mémo — Comment retenir les formules

Indicateur	Formule	Mnémotechnique
Sensibilité	p_M(T)	Parmi les malades, combien sont détectés ?
Spécificité	p_M̄(T̄)	Parmi les non malades, combien sont correctement exclus ?
Efficacité	p(M∩T) + p(M̄∩T̄)	Vrais positifs + Vrais négatifs sur l'ensemble

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Exercices Corrigés

4 exercices types avec solutions détaillées

📝 Exercice 1 — Cardinaux donnés Niveau 1

Soient A et B deux événements d'une même expérience aléatoire tels que :

Card(A) = 6, Card(B) = 8 et Card(A ∩ B) = 3.

Calculer p_A(B) et p_B(A).

Solution :

p_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A) = 3/6 = 1/2

p_B(A) = Card(A ∩ B) / Card(B) = 3/8

💡

Le numérateur est toujours Card(A ∩ B). Seul le dénominateur change selon l'événement « sachant ».

📝 Exercice 2 — Tableau puces électroniques Niveau 2

Une usine fabrique deux types de puces (A et B). On prélève au hasard un lot de 100 puces.

	Type A	Type B	Total
Défaut	5	12	17
Sans défaut	35	48	83
Total	40	60	100

Calculer la probabilité que la puce soit :

a) De type A : 40/100 = 0,4
b) Avec un défaut : 17/100 = 0,17
c) De type A sachant qu'elle a un défaut : p_D(A) = Card(A∩D)/Card(D) = 5/17 ≈ 0,29
d) De type A ET avec un défaut : p(A∩D) = 5/100 = 0,05

📝 Exercice 3 — Diagramme de Venn Niveau 2

Deux événements A et B représentés avec les nombres d'éléments dans chaque zone. On choisit un élément de Ω au hasard.

a) Card(A) = 2 + 3 = 5
b) Card(B) = 10 + 3 = 13
c) Card(A ∩ B) = 3
d) p_A(B) = Card(A∩B)/Card(A) = 3/5 = 0,6
e) p_B(A) = Card(A∩B)/Card(B) = 3/13 ≈ 0,23

📝 Exercice 4 — Classe de Première Niveau 3

Dans une classe de Première : 19 filles, 16 garçons. Parmi les filles, 5 sont externes. Parmi les garçons, 2 sont externes. On choisit un élève au hasard.

	Filles	Garçons	Total
Externes	5	2	7
Non externes	14	14	28
Total	19	16	35

b) p(F ∩ E) = 5/35 = 1/7 ≈ 0,14 — probabilité d'être une fille externe
c) p_E(G) = Card(G∩E)/Card(E) = 2/7 ≈ 0,29 — garçon sachant qu'il est externe
d) Card(F ∩ Ē) = Card(G ∩ Ē) = 14 → la répartition des non-externes est équitable entre filles et garçons ✓

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